湖北高三数学期末考试试卷参考答案

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湖北省部分市州 2025 年元月高三期末联考

数学参考答案及解析

一、单项选择题:本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.

1.A 2.C 3.C 4.D 5.B 6.B 7.C 8.B

7.【答案】C

（法一）平面

ABCD

内，以

ABAD,

为

yx,

轴建系，则

)3,0(0,0( BA ），

,设

），yxQ(

，

则由

QBQA 2

，化简可得

 

224  yx

在平面上以

），（ 40

为圆心，2 为半径的圆上，当

到平面

ADD1

的距离最大时，三棱锥

ADDQ 1



的体积最大，此时

），（ 60Q

，设此时锥体的外接球半径为

，可补体为长方体，

则有

633 222 

R



544 2 RS

（法二）平面

ABCD

内，

QBQA 2

，延长

至

,使得

1BM

，延长

至

,使

得

1BQ

，由阿氏圆的性质可知，

在以

为圆心，2 为半径的圆上，则

在

时，三

棱椎

ADDQ 1



的体积最大,设此时锥体的外接球半径为

，则有

23 













R

(或同法一，补体为长方体）



544 2 RS

8.【答案】B

分析得

cbxaxy  2

与

)

cos(



 xy

有相同的零点 1 和 7，易知

0a

，

0c

且

1 和 7 是方程

2 cbxax

的两根，所以















，

所以

ab 8

，

ac 7

，所以

acb 2

9



 a

，

a

取等，选 B

二、多项选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.

9.BD 10.ACD 11.ABD

11. 【答案】ABD

22  yx

在

）（



sin,cos

处的切线方程为

1sincos 



，所以 A 正确；

椭圆

 n

在

）（



sin,cos nm

处的切线方程为

sincos  n



，B 正确；

将

)2( 3

00 xx ，

代入

32 23 txty 

得

0232 3

23  xxtt

，构造

23 232)( xxtttf 

，

)(6)( 0

xtttf 



，易知

)(tf

在

)0( ，

无零点，C 错误；

若

)y( 00，x

不在直线族上，代入直线

y

得

0 axay

，

04 0

0 yx

，所以

y

，联立

y

和

yx 4

2

得

2 a

，

所以

0

，所以直线

y

和

yx 4

2

相切，又

1 byax

不包括直线

0y

，所

以）

）（ 04

2 xyx

是直线族

1 byax

的包络曲线，D 正确.

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.

12.28 13.

14.

13.【答案】

当

0x

0y

时，曲线为

yxyx 22

22 

在第一象限的部分，

即

   

211 22  yx

，且图像关于 x轴、y轴，坐标原点均对称.

则A,B 距离的最大值为直径的 2倍，为

14.【答案】

方法一：

),0( ex 

，不等式

)ln1(







恒成立

令

)ln1()( 2xxxh 

，则

)ln21()

()ln1(2)( 2xx

xxxxh 



则

)(xh

在

)0 e，（

上单调递增，在

)，（ e

上单调递减，

)()( e

ehxh 

且

0)( xh

，

)ln1(







，

)ln1(

n



em  ，

，令

ng )(

，则

)(ng

在

)1( ，

上单调递增，在

)1( ，

上单调递减，

ng n

)1()( 



方法二：

),0( ex 

，不等式

)ln1(

2



n

恒成立

即

ln2























































令

0ln),,1(















t



 n

nln

1



在

),1( t

上恒成立.

令

tln

)( 



，则

)(t



在

)0( e，

上单调递增，在

)( ，e

上单调递减，

)(

)( 



m

1

,当

0n

时，

0

；当

0n

时，

n

；

令

ng )(

，则

)(ng

在

)1( ，

上单调递增，在

)1( ，

上单调递减，

ng n

)1()( 



四、解答题：共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.解析：

（1）由正弦定理得

BCCCCA sincossin2cossinsin 22 

……………2 分

0cossin0)

sin(2)

(

)

0(  CCCCC ，，，，，







BCCA sin)cos(sinsin 

……………4 分

又

)( CAB 



)sin(cossinsinsin CACACA 

CACA sincoscossin 

CACA sincossinsin 

，又

0sin C

，所以

1tan A

，

)0(



，A



 A

. ……………6 分

（2）由正弦定理及二倍角公式得

CBBBC sinsin3cossinsin2 

，

cos  B

又

)



，B



 B

……………8 分

)

sin()sin(sin



 BAC

26 



.……………10 分

由正弦定理

sinsinsin  B

，

22a

，

26 c

，

周长

6232  cba

. ……………13 分

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标签： #高三 #数学 #试卷

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