杭州市高三年级教学质量检测数学参考答案

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2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测

数学试题答案

一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。

二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。

9．BD 10．ACD 11．BC

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。

12．

 13．1+i，

+

i（答案不唯一） 14．1

四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分。

15．（13 分）

（1）因为 sin2A－sin2B＝sin2C－sinBsinC，

由正弦定理得 a2－b2＝c2－bc，

所以 cosA＝

 

，所以 A＝

．

又因为 2cosB＝sinC，即 2cosB＝sin(

＋B)，

所以 tanB＝．

所以 B＝

，所以 C＝

，

所以△ABC 是直角三角形． …………………7分

（2）设 BC＝a，则 AB＝2a，AC＝a，AD＝

a，

在△ADC 中，CD2＝AC2＋AD2－2AC·ADcosA，

即4＝3a2＋

a2－2a2，解得 a2＝

．

所以 S󰒮ADC＝

AC·ADsin

＝

a2＝

 ． …………………13 分

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16．（15 分）

（1）因为△OFM 的外接圆与抛物线 C的准线相切，

所以△OFM 外接圆的半径 r＝

，

所以外接圆面积 S＝

 ＝

，解得 p＝

，

所以抛物线 C的方程为 y2＝x． …………………7分

（2）因为点(－1，1)在圆 x2＋y2＝2上，

所以点(－1，1)关于直线 y＝kx 对称的点也在圆上，

又已知(－1，1)关于直线 y＝kx 对称的点在抛物线 y2＝x上，

设点(－1，1)的对称点为(x0，y0)，

所以，



＝，



＝ ，解得 P1(1，1)和P2(1，－1)，

当对称点为 P1(1，1)时，斜率 k不存在，舍去；

当对称点为 P2(1，－1)，得 k＝1. …………………15 分

17．（ 15 分）

（1）由题意，知 p2＝2p1，p3＝2p2＝4p1，所以 p1＝

，p2＝

，p3＝

．

所以 H(X)＝－











＝ln7－

ln2．…………7分

（2）根据参考不等式，H(X)＝－





lnpi＝





≤

ln( ( )







＝lnn．

等号成立的实际意义：

从数学角度理解，当 p1＝p2＝…＝pn＝

时，H(X)取到最大值；

从现实生活理解，在没有任何已知信息时，对于未知信息，不加主观臆断，对

每一种可能性都有所估计，且等概率地分配是最保险的做法．

…………………15 分

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标签： #高三 #数学

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第1页（共5页）2024学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。12345678ABABDBCD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。9．BD10．ACD11．BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．1e13．1+√3i，12+√32i（答案不唯一）14．1四、解答题：本大题共5小题，共77分。15．（13分）（1）因为sin2A－sin2B＝sin2C－√3sinBsinC，由正弦定理得a2－b2＝c2－√3bc，所以cosA＝�2+�2−�...

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