宁波高三第一学期数学模拟答案

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数学答案第1页(共4页)

宁波市 2024 学年第一学期高考模拟考试

高三数学参考答案

一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1．D 2．C 3．C 4．B 5．B 6．C 7．A 8．D

二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。

9．BC 10．ACD 11．ABD

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。

12．2 13．

14．

四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（ 13 分）

解：（1）取

中点

，连

,OP OB

，有

OP AC

．

因为

ABC

，所以

OB AC

．

又

3OP 

，所以

2 2 2

PB OP OB

，所以

OP OB

．

因为

AC OB O

，

AC 

平面

ABC

，

OB 

平面

ABC

，所以

OP 

平面

ABC

．

又因为

OP 

平面

PAC

，所以平面

PAC 

平面

ABC

．-------------------------------------------------------------5 分

（2）

法一：以

为原点建立空间直角坐标系如图，有

(0,0,0), (1,0,0), ( 1,0,0), , ,0 , (0,0, 3)

O A C B P









，

可得

 

, ,0 , 1,0, 3

AB AP



   





．

设平面

PAB

的一个法向量为

 

1,,n x y z

，则

n AB x y

n AP x z

    





    



，可取

 

13,3,1n

，

易得平面

PAC

的一个法向量为

 

20,1,0n

，

设平面

PAB

与平面

PAC

的夹角为



，可得

3 13

cos 13







，

故平面

PAB

与平面

PAC

的夹角的余弦值为

3 13

．----------------------------------------------------------------13 分

法二：过

作

BH AC

于

，过

作

HT AP

于

，连

．

因为平面

PAC 

平面

ABC

，平面

PAC

平面

ABC AC

，

BH 

平面

ABC

，所以

BH 

平面

PAC

．

数学答案第2页(共4页)

又

HT AP

，可知

BTH

就是平面

PAB

与平面

PAC

的夹角．

由

BAC

，得

sin 2

BH AB BAC  

，

cos 2

AH AB BAC  

，

所以

sin 4

TH AH PAC  

，可得

tan 3

BTH TH

  

，所以

3 13

cos 13

BTH

，

故平面

PAB

与平面

PAC

的夹角的余弦值为

3 13

．----------------------------------------------------------------13 分

16．（ 15 分）

解：（1）由

221

aa

，得

(2 1) 2[ ( 1) ] 1a n d a n d     

，从而

11da

．

又

11a

，得

2d

，所以

( 1)

S na d n



   

．----------------------------------------------------------------5 分

（2）

4, 1

,1 (3 1) 2

,2(3 1) 2 , 2

nn n

a b n

T T n nn









     



   



，

有









，得













，

故

3 5 1

4 4 4

   

，所以

3d a a  

，进而有

112ad  

，得

1( 1) 3 1

a a n d n    

，

因此

b

．----------------------------------------------------------------------------------------------------------------15 分

17．（ 15 分）

解：（1）由题意，得

9 25 1

4ab



．又由渐近线为

yx

，得

a

，解得

2, 5ab

，

所以双曲线

：



．---------------------------------------------------------------------------------------------5分

（2）显然直线

的斜率存在，设直线

: ( 1) 1l y k x  

，

1 1 2 2

( , ), , )(P x y Q x y

，

联立

( 1) 1

y k x

  











，消去

，得

2 2 2 2

(4 5) 8( ) 4 8 24 0k x k k x k k      

，

由韦达定理，得

1 2 1 2

8( ) 4 8 24

4 5 4 5

k k k k

x x x x

  

  



．由

0

，得

3 2 6 0kk  

．

从而

    

1 2 1 2 1 2 2

( 1)

| | | | ( 1) 1 1 ( 1 19

AP AQ k k

x x k x x x x 

          



，

   

1 2 1 2 1 2

1 1 4PQ k x x k x x x x        

2 2 2 2

64( ) 4(4 5)(4 8 24)

1| 4 5|

k k k k k

    

 

15 10 30

41 | 4 5|

  

 

，

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数学答案第1页(共4页)宁波市2024学年第一学期高考模拟考试高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．D2．C3．C4．B5．B6．C7．A8．D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．BC10．ACD11．ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．213．14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）解：（1）取中点，连，有．因为，所以．...

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